Victor D'Hondt y Badajoz: una pincelada de matemática electoral en España

En las próximas semanas los españoles elegiremos a nuestros representantes en diversos ámbitos: Congreso de los Diputados, Senado, cámaras autonómicas, diputaciones forales, ayuntamientos y Parlamento Europeo. Con la excepción del Senado, todas estas elecciones se resuelven con criterios proporcionales.

Respecto al Congreso de los Diputados, la Constitución de 1978 hace dos referencias a la proporcionalidad en su artículo 68:

Artículo 68. 2. La circunscripción electoral es la provincia. Las poblaciones de Ceuta y Melilla estarán representadas cada una de ellas por un Diputado. La ley distribuirá el número total de Diputados, asignando una representación mínima inicial a cada circunscripción y distribuyendo los demás en proporción a la población.

Artículo 68. 3. La elección se verificará en cada circunscripción atendiendo a criterios de representación proporcional.

Es el que atribuye a cada partido una cantidad de escaños que se calcula mediante una regla de tres a partir de los votos que recibe, los votos totales emitidos y los escaños a repartir. Es decir:

El número de escaños que corresponden a un partido por esta regla se llama la cuota del partido.

Por ejemplo, en las elecciones de junio de 2016, el PP obtuvo en la circunscripción de Madrid 1.325.665 votos de un total de 3.447.658 que lograron el conjunto de los partidos que se presentaban. Como se repartían 36 escaños su cuota fue:

De manera análoga, podemos considerar el reparto entre las provincias de los 248 escaños del Congreso (los diputados son 350 pero, atendiendo a que la Constitución prescribe "una representación mínima inicial a cada circunscripción", se asignan a priori 2 a cada provincia, además de uno a Ceuta y otro a Melilla).

Para las elecciones generales del 28 de abril, dado que según el último censo la población total de España, excluidas Ceuta y Melilla, se sitúa en 46.563.458 personas, de las que 257.049 viven en la provincia de Guadalajara, a esa circunscripción le corresponderían, además de los dos diputados iniciales,

Y aquí surge el problema. ¿Cómo va a haber 13,84 diputados del PP en Madrid o 3,37 diputados que representen a Guadalajara en el Congreso? ¿Hay algún diputado dispuesto a ser troceado?

Es, por tanto, necesario establecer un procedimiento que asigne, de manera razonablemente proporcional, diputados "enteros" a las provincias y a los partidos. En el caso del Congreso de los Diputados el procedimiento, o más bien procedimientos, lo determina la Ley Orgánica del Régimen Electoral General en sus artículos 162 y 163.

Para la asignación de escaños a los partidos (artículo 163), se utiliza el método D'Hondt, llamado así por su proponente en Europa, el jurista y matemático belga Victor D'Hondt. En Estados Unidos se conoce como método Jefferson, ya que Thomas Jefferson propuso un procedimiento equivalente.

Recordemos cómo funciona a la vez que ponemos como ejemplo los resultados electorales de las elecciones al Congreso en la provincia de Badajoz en 1989. Se repartían 6 escaños y los votos que recibieron los diferentes partidos fueron, junto a sus correspondientes cuotas,

El método D'Hondt nos dice que debemos dividir los votos de cada partido sucesivamente entre 1, 2, 3… (por eso se llama también método de los divisores naturales) y asignar los escaños a los partidos que obtengan los mayores cocientes. En nuestro ejemplo (ignorando los partidos pequeños y los decimales)

Los 6 cocientes mayores son los marcados en rojo, de modo que el PSOE obtuvo 4 escaños y el PP 2.

En el caso del reparto de diputados entre provincias, la Ley Electoral prescribe que se siga otro procedimiento: el conocido, entre otros nombres, como método de los restos mayores (pronto veremos por qué).

Para poder comparar con D'Hondt, y porque 50 provincias son muchas para presentar aquí la tabla de reparto (para las elecciones de abril de 2019 puede consultarse en el anexo del Real Decreto por el que se convocan las elecciones), vamos a describir el método de los restos mayores usando de nuevo el ejemplo de la asignación de escaños a partidos en Badajoz en 1989.

Se empieza por calcular las cuotas y se asignan los escaños enteros que hayan resultado:

En nuestro ejemplo, quedan distribuidos así 4 escaños: 3 para el PSOE y 1 para el PP, y nos faltan por asignar 2. Para decidir quién se los lleva, miramos ahora las partes decimales (los "restos" del nombre del método) y damos escaños a quienes tengan esos decimales mayores:

El reparto definitivo resulta, por tanto, ser 3 escaños para el PSOE, 1 para el PP, 1 para el CDS y 1 para IU, muy distinto de los 4 para el PSOE, 2 para el PP y ningún escaño para CDS e IU que nos dio el método D'Hondt.

Es difícil decirlo. ¿Es justo que, como sucede con los restos mayores, el PP e IU obtengan los mismos diputados, a pesar de que el primero cuente con casi el triple de votos que el segundo? ¿Es justo, como sucede al usar D'Hondt, que el resto 0,33 del PSOE se transforme en un cuarto diputado, mientras el 0,61 del CDS se esfuma? De hecho, hay diferentes "medidas de injusticia", todas ellas razonables, y dependiendo de cuál tomemos es un método u otro (estos dos no son los únicos) el que resulta ser más justo.

Por concretar, podríamos pedir que el método cumpla la siguiente condición de cuota: el número de escaños que le asigna el método debe ser siempre, o bien el redondeo hacia arriba, o bien el redondeo hacia abajo de su cuota (que normalmente es un número con decimales).

Es inmediato observar que el método de los restos mayores cumplirá siempre la condición de cuota: al fin y al cabo, es un método de redondeo.

En nuestro ejemplo de Badajoz con D'Hondt también se satisface la condición de cuota, pero esto no sucede siempre. El lector puede entretenerse (o puede hacer trampa y mirar más abajo) buscando un número de escaños y un reparto de votos con el que, si se usa D'Hont, un partido obtenga más escaños de los que corresponderían a redondear hacia arriba su cuota.

Esto parece coincidir con la percepción que mucha gente tiene de que "D'Hont quita escaños a los partidos pequeños para dárselos a los grandes". Pero esa percepción no es correcta. Se puede demostrar usando aritmética elemental que, con el método D'Hondt, ningún partido obtendrá nunca menos escaños de los que indica la parte entera de su cuota. Es decir, D'Hondt nunca quita diputados enteros.

La ligera ventaja que, efectivamente, puede proporcionar a los partidos grandes viene solo del reparto de restos decimales y la falta de proporcionalidad que se aprecia en nuestro Congreso de los Diputados no se debe tanto al método como a la existencia de 52 circunscripciones, de las que 21 reparten 4 escaños o menos, lo que hace muy difícil la proporcionalidad.

De hecho, si se presentan, como sucederá el 28 de abril de 2019, 5 partidos o más, en ninguna de esas 21 circunscripciones pueden obtener todos ellos escaño.

Aun así, se podría pensar que el método de los restos mayores es mejor, porque cumple siempre la condición de cuota.

Si volvemos a nuestro ejemplo pacense, parece que la principal queja que podíamos poner al reparto usando los restos mayores es que no discriminaba demasiado bien entre los resultados del PP, el CDS e IU. Una forma de paliar esto sería (olvidemos por un momento la Ley Electoral) aumentar el número de escaños a elegir en Badajoz de 6 a 7. Veamos que sucedería entonces.

Hay que volver a calcular las cuotas (usando el número de votos que ya tenemos), y la tabla quedaría ahora así:

¡Al subir el número total de escaños de 6 a 7 IU pierde el escaño que tenía! Quizás el método de los restos mayores no sea tan justo después de todo.

En mi departamento de la universidad nos gusta llamar a esta sorprendente situación "paradoja de Badajoz", por este ejemplo que descubrió mi colega Eugenio Hernández. Pero en el mundo se conoce como "paradoja de Alabama".

¿Se produce esta paradoja solo en situaciones muy particulares? No es fácil dar una estimación precisa para la frecuencia con que aparece (depende de demasiados parámetros), pero sí se pueden hacer simulaciones. Así fue, de hecho, como se descubrió la paradoja la primera vez: simulando distintos tamaños para la Cámara de Representantes de los Estados Unidos y viendo cuántos escaños corresponderían en cada caso a cada estado.

Nosotros hemos hecho una simulación similar a partir de una de las propuestas para hacer más proporcional el Congreso de los Diputados sin necesidad de modificar la Constitución: aumentar el número de diputados de 350 a 400. Si, manteniendo todos los demás requisitos de la Ley Electoral, vamos variando la cantidad de diputados de uno en uno, resulta que, en esos 50 pasos, la paradoja de Alabama-Badajoz aparecería 5 veces (en dos de ellas Guadalajara perdería un escaño al añadir un diputado; las otras provincias afectadas en algún paso serían Huesca, Lérida y Soria). Parece que no es un fenómeno excepcional.

Está claro que el método D'Hondt no puede sufrir la "paradoja de Alabama", porque la asignación de un escaño no altera cómo se han distribuido los anteriores. En nuestro ejemplo de Badajoz, sin necesidad de volver a calcular la tabla con la que hemos asignado los seis primeros diputados, un eventual séptimo escaño correspondería al PSOE (aquí aparece un ejemplo de violación de la condición de cuota), el octavo al CDS, etc.

Esta observación se extiende a cualquier método de divisor: los que funcionan como D'Hondt, pero utilizando quizás otros números para dividir (por ejemplo, el método de Sainte-Laguë, que algunos partidos han propuesto como una forma de mejorar la proporcionalidad utiliza como divisores solo los números impares: 1, 3, 5, 7…).

Ninguno de ellos puede sufrir la "paradoja de Alabama" por la razón que ya hemos indicado: la asignación de un escaño no altera cómo se han distribuido los anteriores. Por desgracia es un teorema, demostrado por Michel Balinski y Peyton Young, que ningún método de divisores satisface la condición de cuota.

Quizás debamos concluir que no hay método perfecto de distribución proporcional de escaños y que, aunque las matemáticas nos ayudan a entender las ventajas e inconvenientes de cada uno de ellos, optar por uno u otro (con sus diversas componentes de definición de circunscripciones, reparto de escaños entre ellas y posterior asignación a partidos) debe basarse también en consideraciones políticas. En el buen sentido de la palabra "política", que lo tiene.

Adolfo Quirós Gracián: Profesor Titular de Álgebra, Universidad Autónoma de Madrid

Publicado originalmente en The Conversation.